1. 泛函數的介紹
通常的函數在 R或C（n是自然數）中的集合上定義。泛函數常在函數空間甚至抽象空間中的集合上定義，對集合中每個元素取對應值（實數或復數）。通俗地說，泛函數是以函數作為變元的函數。泛函數概念的產生與變分學問題的研究發展有密切關系。傳統上，泛函通常是指一種定義域為函數，而值域為實數的「函數」。換句話說，就是從函數組成的一個向量空間到實數的一個映射。也就是說它的輸入為函數，而輸出為實數。泛函的應用可以追溯到變分法，那裡通常需要尋找一個函數用來最小化某個特定泛函。在物理學上，尋找某個能量泛函的最小系統狀態是泛函的一個重要應用。
2. 泛函的定義
簡單的說， 泛函就是定義域是一個函數集，而值域是實數集或者實數集的一個子集，推廣開來， 泛函就是從任意的向量空間到標量的映射。也就是說，它是從函數空間到數域的映射。
設{y(x)}是給定的函數集，如果對於這個函數集中任一函數y(x) 恆有某個確定的數與之對應，記為П(y(x))，則П(y(x))是定義於集合{y(x)}上的一個泛函。
泛函定義域內的函數為可取函數或容許函數， y(x) 稱為泛函П的變數函數。
泛函П(y(x))與可取函數y(x)有明確的對應關系。泛函的值是由一條可取曲線的整體性質決定的。
泛函也是一種「函數」，它的獨立變數一般不是通常函數的「自變數」，而是通常函數本身。泛函是函數的函數。由於函數的值是由自變數的選取而確定的，而泛函的值是由自變數函數確定的，故也可以將其理解為函數的函數
泛函的自變數是函數，泛函的自變數稱為宗量。
簡言之，泛函就是函數的函數。
3. y等於根號三。像x減一。求。泛函數。
書上說的是這不是一個一次函數,但並沒說不是一個函數,LZ這個概念混淆了.如上面仁兄所說,函數有好多種,諸如反比例函數、指數函數、對數函數等,你以後會慢慢的逐一學到的.
希望對你有幫助~~~~
4. 泛函數的對偶性
觀察映射
是一個函數，在這里，x0是函數f的自變數。
同時，將函數映射至一個點的函數值
是一個泛函，在此是一個參數
只要是一個從向量空間至一個布於實數的體的線性轉換，上述的線性映射彼此對偶，那麼在泛函分析上，這兩者都稱作線性泛函。
5. 什麼叫泛函
泛函泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的分支學科。它是20世紀30年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、函數論以及量子物理等的研究中發展起來的，它運用幾何學、代數學的觀點和方法研究分析學的課題，可看作無限維的分析學。
泛函分析的產生
十九世紀以來，數學的發展進入了一個新的階段。這就是，由於對歐幾里得第五公設的研究，引出了非歐幾何這門新的學科；對於代數方程求解的一般思考，最後建立並發展了群論；對數學分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化准備了條件。
本世紀初，瑞典數學家弗列特荷姆和法國數學家阿達瑪發表的著作中，出現了把分析學一般化的萌芽。隨後，希爾伯特和海令哲來創了希爾伯特空間的研究。到了二十年代，在數學界已經逐漸形成了一般分析學，也就是泛函分析的基本概念。
由於分析學中許多新部門的形成，揭示出分析、代數、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數方程求根和微分方程求解都可以應用逐次逼近法，並且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現得就更為突出了。泛函分析的產生正是和這種情況有關，有些乍看起來很不相乾的東西，都存在著類似的地方。因此它啟發人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬於本質的東西。
非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認知，n維空間幾何的產生允許我們把多變函數用幾何學的語言解釋成多維空間的影響。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進一步推廣，以至最後把歐氏空間擴充成無窮維數的空間。
這時候，函數概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關系。現代數學的發展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應關系。
這里我們先介紹一下運算元的概念。運算元也叫算符，在數學上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做運算元。
研究無限維線性空間上的泛函數和運算元理論，就產生了一門新的分析數學，叫做泛函分析。在二十世紀三十年代，泛函分析就已經成為數學中一門獨立的學科了。
泛函分析的特點和內容
泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函數可以看作是函數空間的點或矢量，這樣最後得到了抽象空間這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數空間。
泛函分析對於研究現代物理學是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學系統的運動，實際上需要有新的數學工具來描述具有無窮多自由度的力學系統。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學系統的例子。一般來說，從質點力學過渡到連續介質力學，就要由有窮自由度系統過渡到無窮自由度系統。現代物理學中的量子場理論就屬於無窮自由度系統。
正如研究有窮自由度系統要求 n維空間的幾何學和微積分學作為工具一樣，研究無窮自由度的系統需要無窮維空間的幾何學和分析學，這正是泛函分析的基本內容。因襲，泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學和微積分學。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學科中。泛函分析是分析數學中最年輕的分支，它是古典分析觀點的推廣，它綜合函數論、
6. 求泛函數極值時,改變被控泛函數,其他始端跟末端條件不變，怎麼比較求出的控制輸入u(t)
泛函數
泛函數又稱泛函，通常實（復）值函數概念的發展。通常的函數在 Rn或Cn（n是自然數）中的集合上定義。泛函數常在函數空間甚至抽象空間中的集合上定義，對集合中每個元素取對應值（實數或復數）。
通俗地說，泛函數是以函數作為變元的函數。泛函數概念的產生與變分學問題的研究發展有密切關系。設Ω為Rn中的區域，Г1表示邊界嬠Ω的片斷,表示一函數集合。考慮對應,式中F為具有2n+1個自變數的函數:為尋求J(u)的局部極值，在一定條件下取J(u)的加托變分
如果在u=u0達到局部極值，則u0適合歐拉方程δJ(u)=0。在應用中，常以數學或物理的某個微分方程為背景產生一定泛函數，使原問題化成泛函數極值問題。當代分析學中，變分方法有廣泛應用。一般把問題化成Tx=0的形式，即對應於某泛函數φ的歐拉方程，其中φ定義在一巴拿赫空間X中的開集S上且加托可微:運算元T 稱為梯度運算元,φ稱為T 的場位。人們常遇到二階微分系統，由此產生二次泛函數極值問題，是當代變分法常見的研究對象。
泛函數φ:S嶅X→R（X 為拓撲空間）稱為在x∈S處下半連續，如果對每個實數r<φx，有x的鄰域U(x)，使得r<φz,凬z∈U(x)∩S。稱φ在x∈S處下半序列連續,如果對每個序列 。其連續性及有界性如同對運算元相應的性質所做的規定。
設φ是定義在線性集合S上的實（復）值泛函數。如果φ(x+y)＝φ(x)+φ(y)，φ 稱為加性的；如果φ（λx）=λφ(x),λ∈R(C)稱為齊性的；如果同時有加性及齊性稱為線性的。當φ取實值時,加性得放鬆為次加性,其定義為：φ(x+y)≤φ(x)+φ(y)；齊性得放鬆為正齊性，其定義為：ƒ(λx)=λƒ(x)(λ≥0)；如果同時有次加性及齊性，則稱φ具有次線性；如果對於λ∈(0,1)，有φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y)，則稱φ為凸的;如果當x≠y時上式中的≤必為<,則稱φ為嚴格凸的。在一些問題中,容許凸泛函數φ取值＋∞,但φ扝+∞,這時稱φ為真凸的。此外,還有所謂凸集S上的擬凸泛函數φ：S嶅K→R（K為線性空間），使φ(tx+(1-t)y)≤max{φx,φy},x,y∈S, t∈(0,1)。在賦范空間K中無界集S上定義的泛函數φ稱為強制的,如果有函數с:(0,+∞)→R,с(t)→+∞(t→+∞)使得φ(z)≥с(‖z‖),凬z∈S。
線性泛函數是線性運算元理論研究的對象之一，也是研究空間性質及結構的工具。例如，局部凸拓撲線性空間K有對偶空間K，K的元素就是定義在K上的連續線性泛函數。對K可賦予簡單收斂拓撲或有界收斂拓撲。偶K、K間的關系對認識空間的性質和研究運算元的性質都有基本意義。
相應於多重線性運算元有多重線性泛函數。例如，設K1、K2是同一數域上的線性空間,定義在積空間K1×K2上的映射φ:K1×K2→R（或C）稱為雙線性泛函數,如果K2(K1)中元素固定時φ成為K1(K2)上的線性泛函數。當K1=K2=K，K1及K2中取等同的x∈K，則得φ(x,x),稱為二次泛函數。對希爾伯特空間中線性運算元譜理論的研究，雙線性泛函數形式作為表示工具是方便的。二次泛函數在變分法中的應用更是為人熟知的。
擬賦范空間、局部凸拓撲線性空間、賦范空間等的表徵主要在於分別在各空間上定義的次加性泛函數，即擬范數、半范數族、范數等。測度空間中的測度，即對應於某種集合的值也可理解為泛函數。對於給定函數的不定積分也可類似地看待。
泛函數 - 相關連接
泛函數-數學網路知識http://www.chinake.com/article/316/shuxue/2008/200801011121769.html
boost 泛函數比較問題 - http://topic.csdn.net/t/20060715/11/4882102.html
7. 泛函分析求助
1、泛函分析的主要研究對象是什麼？泛函分析（Functional Analysis）是現代數學的一個分支，隸屬於分析學，其研究的主要對象是函數構成的空間。泛函分析是由對變換（如傅立葉變換等）的性質的研究和對微分方程以及積分方程的研究發展而來的。
2、什麼是泛函數？
又稱泛函，通常實（復）值函數概念的發展。通常的函數在 R或C（n是自然數）中的集合上定義。泛函數常在函數空間甚至抽象空間中的集合上定義，對集合中每個元素取對應值（實數或復數）。通俗地說，泛函數是以函數作為變元的函數。泛函數概念的產生與變分學問題的研究發展有密切關系。
3.泛函分析的四大基本定理及其特徵？泛函分析的主要定理包括：
1. 一致有界定理（亦稱共鳴定理），該定理描述一族有界運算元的性質。
2. 譜定理包括一系列結果，其中最常用的結果給出了希爾伯特空間上正規運算元的一個積分表達，該結果在量子力學的數學描述中起到了核心作用。
3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何將一個運算元保范數地從一個子空間延拓到整個空間。另一個相關結果是對偶空間的非平凡性。
4. 開映射定理和閉圖像定理。