1. 现代计算机是如何计算圆周率的
可以用编程语言计算。以下是python语言
pi = 0.0
N = 100
for i in range(N):
pi += (1/pow(16,i) * ( 4/(8*i +1) -2/(8*i+4)-1/(8*i+5) -1/(8*i +6) ) )
print('圆周率为{:.10f}'.format(pi))
请把以上代码拷进python语言开发环境里运行，结果如下（下图是使用python开发环境Spyder运行上述代码的结果）：圆周率为3.1415926536
(1)逆康托展开C语言代码扩展阅读
电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（ElectronicNumerical Integrator And Computer）在阿伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。
这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，IBM NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。
2. ACM进阶指南
大一上学期：
必学：
1.C语言基础语法必须全部学会
a)推荐“语言入门”分类20道题以上
b)提前完成C语言课程设计
2.简单数学题（推荐“数学”分类20道以上）
需要掌握以下基本算法：
a)欧几里德算法求最大公约数
b)筛法求素数
c)康托展开
d)逆康托展开
e)同余定理
f)次方求模
3.计算几何初步
a)三角形面积
b)三点顺序
4.学会简单计算程序的时间复杂度与空间复杂度
5.二分查找法
6.简单的排序算法
a)冒泡排序法
b)插入排序法
7.贪心算法经典题目
8.高等数学
以下为选修：
9.学会使用简单的DOS命令（较重要）
a)color/dir//shutdown/mkdir(md)/rmdir(rd)/attrib/cd/
b)知道什么是绝对路径与相对路径
c)学会使用C语言调用DOS命令
d)学会在命令提示符下调用你自己用C语言编写的程序，并使用命令行参数给自己的程序传参（比如自己制作一个file.exe实现与命令基本功能一致的功能）
e)学会编写bat批处理文件
10.学会Windows系统的一些小知识，如设置隐藏文件，autoRun.inf的设置等。
11.学会编辑注册表（包括使用注册表编辑器regedit和使用DOS命令编辑注册表）
12.学会使用组策略管理器管理(gpedit.msc)组策略。
大一下学期：
1.掌握C++部分语法，如引用类型，函数重载等，基本明白什么是类。
2.学会BFS与DFS
a)迷宫求解（最少步数）
b)水池数目(NYOJ27)
c)图像有用区域(NYOJ92)
d)树的前序中序后序遍历
3.动态规划（15题以上），要学会使用循环的方法写动态规划，同时也要学会使用记忆化搜索的方法。
a)最大子串和
b)最长公共子序列
c)最长单调递增子序列(O(n)与O(n log n)算法都需要掌握)
d)01背包
e)RMQ算法
4.学会分析与计算复杂程序的时间复杂度
5.学会使用栈与队列等线性存储结构
6.学会分治策略
7.排序算法
a)归并排序
b)快速排序
c)计数排序
8.数论
a)扩展欧几里德算法
b)求逆元
c)同余方程
d)中国剩余定理
9.博弈论
a)博弈问题与SG函数的定义
b)多个博弈问题SG值的合并
10.图论：
a)图的邻接矩阵与邻接表两种常见存储方式
b)欧拉路的判定
c)单最短路bellman-ford算法dijkstra算法。
d)最小生成树的kruskal算法与prim算法。
11.学会使用C语言进行网络编程与多线程编程
12.高等数学
13.线性代数
a)明确线性代数的重要性，首先是课本必须学好
b)编写一个Matrix类，进行矩阵的各种操作，并求编写程序解线性方程组。
c)推荐做一两道“矩阵运算”分类下的题目。
以下为选修，随便选一两个学学即可：
14.（较重要）使用C语言或C++编写简单程序来调用一些简单的windows API，或者在linux下进行linux系统调用，其目的是明白什么是API（应用程序接口）。
15.网页设计
a)学习静态网页技术(html+css+javascript)
b)较具有艺术细胞的可以试试Photoshop
c)php或其它动态网页技术
16.学习matlab，如果想参加数学建模大赛的话，需要学这个软件。
大一假期（如果留校集训）
1.掌握C++语法，并熟练使用STL
2.试着实现STL的一些基本容器和函数，使自己基本能看懂STL源码
3.图论
a)使用优先队列优化Dijkstra和Prim
b)单源最短路径之SPFA
c)差分约束系统
d)多源多点最短路径之FloydWarshall算法
e)求欧拉路(圈套圈算法）
4.进行复杂模拟题训练
5.拓扑排序
6.动态规划进阶
a)完全背包、多重背包等各种背包问题（参见背包九讲）
b)POJ上完成一定数目的动态规划题目
c)状态压缩动态规划
d)树形动态规划
7.搜索
a)回溯法熟练应用
b)复杂的搜索题目练习
c)双向广度优先搜索
d)启发式搜索(包括A*算法，如八数码问题)
8.计算几何
a)判断点是否在线段上
b)判断线段相交
c)判断矩形是否包含点
d)判断圆与矩形关系
e)判断点是否在多边形内
f)判断点到线段的最近点
g)计算两个圆的公切线
h)求矩形的并的面积
i)求多边形面积
j)求多边形重心
k)求凸包
选修
9.可以学习一种C++的开发框架来编写一些窗体程序玩玩（如MFC,Qt等)。
10.学习使用C或C++连接数据库。
大二一整年：
1.数据结构
a)单调队列
b)堆
c)并查集
d)树状数组
e)哈希表
f)线段树
g)字典树
2.图论
a)强连通分量
b)双连通分量（求割点，桥）
c)强连通分量与双连通分量缩点
d)LCA、LCA与RMQ的转化
e)二分图匹配
i.二分图最大匹配
ii.最小点集覆盖
iii.最小路径覆盖
iv.二分图最优匹配
v.二分图多重匹配
f)网络流
i.最大流的基本SAP
ii.最大流的ISAP或者Dinic等高效算法（任一）
iii.最小费用最大流
iv.最大流最小割定理
3.动态规划多做题提高（10道难题以上）
4.数论
a)积性函数的应用
b)欧拉定理
c)费马小定理
d)威乐逊定理
5.组合数学
a)群论基础
b)Polya定理与计数问题
c)Catalan数
6.计算几何
a)各种旋转卡壳相关算法
b)三维计算几何算法
7.理解数据库原理，学会SQL语句
8.学好计算机组成原理
9.学习Transact-SQL语言，学会使用触发器，存储过程，学会数据库事务等。
10.图论二
a)网络流的各种构图训练（重要）
b)最小割与最小点权覆盖等的关系（详见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》一文）
c)次小生成树
d)第k短路
e)最小比率生成树
11.线性规划
12.动态规划更高级进阶
13.KMP算法
14.AC自动机理论与实现
15.博弈论之Alpha-beta剪枝
3. 怎样学好初三的几何初一不错，初二退步，初三感觉更吃力是怎么回事请教专家，非常感谢
几何学发展
几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。
平面几何立体几何
最早的几何学当属 平面几何。 平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线， 就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度）。平面几何采用了公理化方法， 在数学思想史上具有重要的意义。 平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。 为了计算体积和面积问题， 人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。 笛卡尔引进坐标系后， 代数与几何的关系变得明朗， 且日益紧密起来。 这就促使了解析几何的产生。解析几何是由笛卡尔、费马分别独立创建的。这又是一次具有里程碑意义的事件。从解析几何的观点出发， 几何图形的性质可以归结为方程的分析性质和代数性质。 几何图形的分类问题（比如把圆锥曲线分为三类），也就转化为方程的代数特征分类的问题， 即寻找代数不变量的问题。 立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴， 从而研究二次曲面（如球面，椭球面、锥面、双曲面，鞍面）的几何分类问题， 就归结为研究代数学中二次型的不变量问题。 总体上说， 上述的几何都是在欧氏空间的几何结构--即平坦的空间结构--背景下考察， 而没有真正关注弯曲空间 下的几何结构。欧几里得几何公理本质上是描述平坦空间的几何特性，特别是第五公设引起了人们对其正确性的疑虑。 由此人们开始关注其弯曲空间的几何， 即“非欧几何 ”。 非欧几何中包括了最经典几类几何学课题， 比如“球面几何”，“罗氏几何 ”等等。另一方面， 为了把无穷远的那些虚无缥缈的点也引入到观察范围内， 人们开始考虑射影几何。 这些早期的非欧几何学总的来说，是研究非度量的性质，即和度量关系不大， 而只关注几何对象的位置问题--比如平行、相交等等。 这几类几何学所研究的空间背景都是弯曲的空间。
微分几何
为了引入弯曲空间的上的度量（长度、面积等等）， 我们就需要引进微积分的方法去局部分析空间弯曲的性质。微分几何 于是应运而生。 研究曲线和曲面的微分几何称为古典微分几何。 但古典微分几何讨论的对象必须事先嵌入到欧氏空间里，才定义各种几何概念等等（比如切线、曲率）。 一个几何概念如果和几何物体所处的空间位置无关，而只和其本身的性态相关，我们就说它是内蕴的。 用物理的语言来说， 就是几何性质必须和参考系选取无关。
内蕴几何
哪些几何概念是内蕴性质的？ 这是当时最重要的理论问题。 高斯发现了曲面的曲率（即反映弯曲程度的量）竟然是内蕴的---尽管它的原始定义看上去和所处的大空间位置有关。 这个重要发现就称为高斯绝妙定理。古典几何的另一个重要发现就是高斯-博纳特公式， 它反映了曲率和弯曲空间里的三角形三角之和的关系。 研究内蕴几何的学科首属黎曼几何 · 黎曼在一次着名的演讲中，创立了这门奠基性的理论。 它首次强调了内蕴的思想， 并将所有此前的几何学对象都归纳到更一般的范畴里， 内蕴地定义了诸如度量等等的几何概念。 这门几何理论打开了近代几何学的大门， 具有里程碑的意义。它也成为了爱因斯坦的广义相对论的数学基础。 从黎曼几何出发， 微分几何进入了新的时代，几何对象扩展到了流形（一种弯曲的几何物体）上--这一概念由庞加莱引入。 由此发展出了诸如张量几何、黎曼曲面理论、复几何、霍奇理论、纤维丛理论、芬斯勒几何 、莫尔斯理论、形变理论等等。 从代数的角度看， 几何学从传统的解析几何发展成了更一般的一门理论--代数几何。传统代数几何就是研究多项式方程组的零点集合作为几何物体所具有的几何结构和性质--这种几何体叫做代数簇。 解析几何所研究的直线、圆锥曲线、球面、锥面等等都是其中的特例。稍微推广一些，就是代数曲线， 特别是平面代数曲线， 它相应于黎曼曲面。代数几何可以用交换代数的环和模的语言来描述， 也可以从复几何、霍奇理论等分析的方法去探讨。 代数几何的思想也被引入到数论中， 从而促使了抽象代数几何的 发展，比如算术代数几何。
拓扑学
和传统几何密切相关的一门重要学科，就是拓扑学。 它也可以视为一种“柔性”的几何学， 也是所有几何学的研究基础。 这门学科的雏形由庞加莱创造， 后来发展成了成熟的数学理论。 拓扑学思想是数学思想中极为关键的内容。它讨论了刻画几何物体最基本的一些特征， 比如亏格（洞眼个数）等等 。由此还发展出了同调论、同伦论等等基础性的理论。
其他的集合学科
除了以上传统几何学之外， 我们还有闵可夫斯基建立的“数的几何” ； 与近代物理学密切相关的新学科“热带几何”；探讨维数理论的“分形几何”；还有“凸几何”、“组合几何”、“计算几何”、“排列几何”、“直观几何”等等。
编辑本段几何作图
三大问题
古希腊几何作图的三大问题是: ①化圆为方,求作一正方形,使其面积等于一已知圆； ②三等分任意角; ③倍立方，求作一立方体，使其体积是一已知立方体的两倍。这些问题的难处，是作图只许用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。 经过两千多年的探索，最后才证明在尺规的限制下，根本不可能作出所要求的图形。 希腊人强调作图只能用直尺圆规，有下列原因。①希腊几何的基本精神，是从极少的基本假定（定义、公理、公设）出发，推导出尽可能多的命题。对于作图工具，自然也相应地限制到不能再少的程度。②受柏拉图哲学思想的影响。柏拉图片面强调数学在训练智力方面的作用而忽视其实用价值。他主张通过几何学习达到训练逻辑思维的目的，因此工具要有所限制，正象体育竞赛要有器械的限制一样。③以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象。有了尺规，圆和直线已经能够作出，因此就规定只使用这两种工具。历史上最早明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯，以后逐渐成为一种公约，最后总结在欧几里得的《几何原本》之中。
尺规作图
公元前5世纪,雅典的“智人学派”以上述三大问题为中心，开展研究。正因为不能用尺规来解决，常常使人闯入新的领域中去。例如激发了圆锥曲线、割圆曲线以及三、四次代数曲线的发现。 17世纪解析几何建立以后，尺规作图的可能性才有了准则。1837年P.L.旺策尔给出三等分任意角和倍立方不可能用尺规作图的证明,1882年C.L.F.von林德曼证明了 π的超越性，化圆为方的不可能性也得以确立。1895年（C.）F.克莱因总结了前人的研究，着《几何三大问题》(中译本,1930)一书,给出三大问题不可能用尺规来作图的简明证法，彻底解决了两千多年的悬案。 虽然如此，还是有许多人不管这些证明，想压倒前人所有的工作。他们宣称自己已解决了三大问题中的某一个，实际上他们并不了解所设的条件和不可解的道理。三大问题不能解决，关键在工具的限制，如果不限工具，那就根本不是什么难题，而且早已解决。例如阿基米德就曾用巧妙的方法三等分任意角。下面为了叙述简单，将原题稍加修改。在直尺边缘上添加一点p，命尺端为O。设所要三等分的角是∠ACB，以C为心，Op为半径作半圆交角边于A、B；使O点在CA延线上移动,p点在圆周上移动，当尺通过B时，联OpB（见图）。由于Op=pC=CB，易知 。 ∠COB=1/3∠ACB 这里使用的工具已不限于尺规，而且作图方法也与公设不合。另外两个问题也可以用别的工具解决。
编辑本段欧几里得和《几何原本》
欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨着——《几何原本》。
历史意义
《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在这部着作里，全部几何知识都是从最初的几个假设除法、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
几何原本内容
欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。
主要的特色
《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是着名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最着名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。） 这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。
几何论证的方法
关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。 欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
编辑本段希尔伯特《几何基础》
建立公理系统的原则
人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。 希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题： 第一，共存性(和谐性)，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。 第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。 第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。 这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。
意义
公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。 因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。 就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。
一些平面几何的着名定理
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略） 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1. 28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M 29、塞瓦定理的逆定理：（略） 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线） 33、西摩松定理的逆定理：（略） 34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。 35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。 36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏). 37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点 38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点 40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。 41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。 42、关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。 43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。 44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点） 47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。 48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine-point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆. 49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。 52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。 53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。 54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。 61、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线。 62.秦九韶——海伦公式：已知三角形三边:a,b,c计算三角形面积S S为根号下：p(p-a)(p-b)(p-c) p为该三角形周长的一半
4. 复数是什么啊，为什么C=a+bi
很简单,就像是否人身体由几个部分组成一样,复数C也是由几个部分组成.不要把它想得太玄.
复数是由两个部分组成,即实部和虚部.如你列出来的一个式子,C代表一个复数的话,那么a就是指它的实部,即实数部分,bi指它的虚部,也就是虚数部分.举个例子.复数z=3+8i.它就是一个虚数.
这个东西很实在,别把它想得复杂了.它是一种数!也有混合运算的.实部就是实部虚部就是虚部.别把它们拧到一块了,那样会很让你伤脑筋.
重要是在自己体会,顺便说一下,随着你学习的深入,你就觉得它是一个很自然的东西了,这是一个过程.不用超之过急去弄透它.
希望我的回答给你一些启示.
5. C语言算法BFS+HASH是什么
就是 康托hash判重 P1029 的所谓的hash就是 康托展开（作用是判重）目标状态就8种
276951438
294753618
438951276
492357816
618753294
672159834
816357492
834159672
由这八个BFS扩展，总共362880种状态，共12种交换方法。 9 的全排列有 三十多万 , 利用 康托 判断出 当前搜索到的 序列 是这 三十多万个排列方式中的第几个, 以此来判重......
康托展开:
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个 123 132 213 231 312 321代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。他们间的对应关系可由康托展开来找到。 如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123 213 小于3的数有1，2 所以有2*2!个 再看小于第二位2的 小于2的数只有一个就是1 所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开 再举个例子 1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数 第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1，2但1已经在第一位了所以只有一个数2 1*2! 第三位是2小于2的数是1，但1在第一位所以有0个数 0*1! 所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个 1324是第三个大数。
6. 康托展开
把一个整数X展开成如下形式：
X=a[n]*n!+a[n-1]*(n-1)!+...+a[2]*2!+a[1]*1!
其中，a为整数，并且0<=a<i,i=1,2,..,n
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。
代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。
他们间的对应关系可由康托展开来找到。
如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：
第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。
再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。
代码（C语言）：
unsigned long cantor(unsigned long S)
{
long x=0,i,p,k,j;
bool hash[8]=;
for (i=8;i>=2;i--)
{
k=S>> 3*(i-1);
S-=k<<3*(i-1);
hash[k]=true;
p=k;
for (j=0;j<=k-1;j++)
if (hash[j])
p--;
x+=fac[i-1]*p;
}
return x;
}
代码（Pascal语言）：
procere cantor;
var
i,j,temp:integer;
num:longint;
begin
num:=0;
for i:=1 to n-1 do
begin
temp:=s-1;
for j:=1 to i-1 do if s[j]<s then dec(temp);
num:=(num+temp)*(n-i);
end;
ans:=num+1;
end;
7. 康托的对角线证法
停机问题
不存在这样一个程序（算法），它能够计算任何程序（算法）在给定输入上是否会结束（停机）。
那么，如何来证明这个停机问题呢？反证。假设我们某一天真做出了这么一个极度聪明的万能算法（就叫God_algo吧），你只要给它一段程序（二进制描述），再给它这段程序的输入，它就能告诉你这段程序在这个输入上会不会结束（停机），我们来编写一下我们的这个算法吧：
bool God_algo(char* program, char* input)
{
if(<program> halts on <input>)
return true;
return false;
}
这里我们假设if的判断语句里面是你天才思考的结晶，它能够像上帝一样洞察一切程序的宿命。现在，我们从这个God_algo出发导出一个新的算法：
bool Satan_algo(char* program)
{
if( God_algo(program, program) ){
while(1); // loop forever!
return false; // can never get here!
}
else
return true;
}
正如它的名字所暗示的那样，这个算法便是一切邪恶的根源了。当我们把这个算法运用到它自身身上时，会发生什么呢？
Satan_algo(Satan_algo);
我们来分析一下这行简单的调用：
显然，Satan_algo(Satan_algo)这个调用要么能够运行结束返回（停机），要么不能返回（loop forever）。
如果它能够结束，那么Santa_algo算法里面的那个if判断就会成立（因为God_algo(Santa_algo,Santa_algo)将会返回true），从而程序便进入那个包含一个无穷循环while(1);的if分支，于是这个Satan_algo(Satan_algo)调用便永远不会返回（结束）了。
而如果Satan_algo(Satan_algo)不能结束（停机）呢，则if判断就会失败，从而选择另一个if分支并返回true，即Satan_algo(Satan_algo)又能够返回（停机）。
总之，我们有：
Satan_algo(Satan_algo)能够停机=> 它不能停机
Satan_algo(Satan_algo)不能停机=> 它能够停机
所以它停也不是，不停也不是。左右矛盾。
于是，我们的假设，即God_algo算法的存在性，便不成立了。正如拉格朗日所说：“陛下，我们不需要（上帝）这个假设”[4]。
这个证明相信每个程序员都能够容易的看懂。然而，这个看似不可捉摸的技巧背后其实隐藏着深刻的数学原理（甚至是哲学原理）。在没有认识到这一数学原理之前，至少我当时是对于图灵如何想出这一绝妙证明感到无法理解。但后面，在介绍完了与图灵的停机问题“同构”的Y combinator之后，我们会深入哥德尔的不完备性定理，在理解了哥德尔不完备性定理之后，我们从这一同样绝妙的定理出发，就会突然发现，离停机问题和神奇的Y combinator只是咫尺之遥而已。当然，最后我们会回溯到一切的尽头，康托尔那里，看看停机问题、Y combinator、以及不完备性定理是如何自然而然地由康托尔的对角线方法推导出来的，我们将会看到这些看似神奇的构造性证明的背后，其实是一个简洁优美的数学方法在起作用。
Y Combinator
了解Y combinator的请直接跳过这一节，到下一节“哥德尔的不完备性定理”。
让我们暂且搁下但记住绕人的图灵停机问题，走进函数式编程语言的世界，走进由跟图灵机理论等价的lambda算子发展出来的另一个平行的语言世界。让我们来看一看被人们一代一代吟唱着的神奇的Y Combinator…
关于Y Combinator的文章可谓数不胜数，这个由师从希尔伯特的着名逻辑学家Haskell B.Curry（Haskell语言就是以他命名的，而函数式编程语言里面的Curry手法也是以他命名）“发明”出来的组合算子（Haskell是研究组合逻辑(combinatory logic)的）仿佛有种神奇的魔力，它能够算出给定lambda表达式（函数）的不动点。从而使得递归成为可能。事实上，我们待会就会看到，Y Combinator在神奇的表面之下，其实隐藏着深刻的意义，其背后体现的意义，曾经开出过历史上最灿烂的数学之花，所以MIT的计算机科学系将它做成系徽也就不足为奇了[5]。
当然，要了解这个神奇的算子，我们需要一点点lambda算子理论的基础知识，不过别担心，lambda算子理论是我目前见过的最简洁的公理系统，这个系统仅仅由三条非常简单的公理构成，而这三条公理里面我们又只需要关注前两条。
以下小节——lambda calculus——纯粹是为了没有接触过lambda算子理论的读者准备的，并不属于本文重点讨论的东西，然而要讨论Y combinator就必须先了解一下lambda（当然，以编程语言来了解也行，但是你会看到，丘齐最初提出的lambda算子理论才是最最简洁和漂亮的，学起来也最省事。）所以我单独准备了一个小节来介绍它。如果你已经知道，可以跳过这一小节。不知道的读者也可以跳过这一小节去wikipedia上面看，这里的介绍使用了wikipedia上的方式
lambda calculus
先来看一下lambda表达式的基本语法(BNF)：
<expr> ::= <identifier>
<expr> ::= lambda <identifier-list>. <expr>
<expr> ::= (<expr> <expr>)
前两条语法用于生成lambda表达式（lambda函数），如：
lambda x y. x + y
haskell里面为了简洁起见用“\”来代替希腊字母lambda，它们形状比较相似。故而上面的定义也可以写成：
\ x y. x + y
这是一个匿名的加法函数，它接受两个参数，返回两值相加的结果。当然，这里我们为了方便起见赋予了lambda函数直观的计算意义，而实际上lambda calculus里面一切都只不过是文本替换，有点像C语言的宏。并且这里的“+”我们假设已经是一个具有原子语义的运算符[6]，此外，为了方便我们使用了中缀表达（按照lambda calculus系统的语法实际上应该写成“(+ x y)”才对——参考第三条语法）。
那么，函数定义出来了，怎么使用呢？最后一条规则就是用来调用一个lambda函数的：
((lambda x y. x + y) 2 3)
以上这一行就是把刚才定义的加法函数运用到2和3上（这个调用语法形式跟命令式语言(imperative language)惯用的调用形式有点区别，后者是“f(x, y)”，而这里是“(f x y)”，不过好在顺序没变:) ）。为了表达简洁一点，我们可以给(lambda x y. x + y)起一个名字，像这样：
let Add = (lambda x y. x + y)
这样我们便可以使用Add来表示该lambda函数了：
(Add 2 3)
不过还是为了方便起见，后面调用的时候一般用“Add(2, 3)”，即我们熟悉的形式。
有了语法规则之后，我们便可以看一看这个语言系统的两条简单至极的公理了：
Alpha转换公理：例如，“lambda x y. x + y”转换为“lambda a b. a + b”。换句话说，函数的参数起什么名字没有关系，可以随意替换，只要函数体里面对参数的使用的地方也同时注意相应替换掉就是了。
Beta转换公理：例如，“(lambda x y. x + y) 2 3”转换为“2 + 3”。这个就更简单了，也就是说，当把一个lambda函数用到参数身上时，只需用实际的参数来替换掉其函数体中的相应变量即可。
就这些。是不是感觉有点太简单了？但事实就是如此，lambda算子系统从根本上其实就这些东西，然而你却能够从这几个简单的规则中推演出神奇无比的Y combinator来。我们这就开始！
递归的迷思
敏锐的你可能会发现，就以上这两条公理，我们的lambda语言中无法表示递归函数，为什么呢？假设我们要计算经典的阶乘，递归描述肯定像这样：
f(n):
if n == 0 return 1
return n*f(n-1)
当然，上面这个程序是假定n为正整数。这个程序显示了一个特点，f在定义的过程中用到了它自身。那么如何在lambda算子系统中表达这一函数呢？理所当然的想法如下：
lambda n. If_Else n==0 1 n*<self>(n-1)
当然，上面的程序假定了If_Else是一个已经定义好的三元操作符（你可以想象C的“?:”操作符，后面跟的三个参数分别是判断条件、成功后求值的表达式、失败后求值的表达式。那么很显然，这个定义里面有一个地方没法解决，那就是<self>那个地方我们应该填入什么呢？很显然，熟悉C这类命令式语言的人都知道应该填入这个函数本身的名字，然而lambda算子系统里面的lambda表达式（或称函数）是没有名字的。
怎么办？难道就没有办法实现递归了？或者说，丘齐做出的这个lambda算子系统里面根本没法实现递归从而在计算能力上面有重大的缺陷？显然不是。马上你就会看到Y combinator是如何把一个看上去非递归的lambda表达式像变魔术那样变成一个递归版本的。在成功之前我们再失败一次，注意下面的尝试：
let F = lambda n. IF_Else n==0 1 n*F(n-1)
看上去不错，是吗？可惜还是不行。因为let F只是起到一个语法糖的作用，在它所代表的lambda表达式还没有完全定义出来之前你是不可以使用F这个名字的。更何况实际上丘齐当初的lambda算子系统里面也并没有这个语法元素，这只是刚才为了简化代码而引入的语法糖。当然，了解这个let语句还是有意义的，后面还会用到。
一次成功的尝试
在上面几次失败的尝试之后，我们是不是就一筹莫展了呢？别忘了软件工程里面的一条黄金定律：“任何问题都可以通过增加一个间接层来解决”。不妨把它沿用到我们面临的递归问题上：没错，我们的确没办法在一个lambda函数的定义里面直接（按名字）来调用其自身。但是，可不可以间接调用呢？
我们回顾一下刚才不成功的定义：
lambda n. If_Else n==0 1 n*<self>(n-1)
现在<self>处不是缺少“这个函数自身”嘛，既然不能直接填入“这个函数自身”，我们可以增加一个参数，也就是说，把<self>参数化：
lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1)
上面这个lambda算子总是合法定义了吧。现在，我们调用这个函数的时候，只要加传一个参数self，这个参数不是别人，正是这个函数自身。还是为了简单起见，我们用let语句来给上面这个函数起个别名：
let P = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1)
我们这样调用，比如说我们要计算3的阶乘：
P(P, 3)
也就是说，把P自己作为P的第一个参数（注意，调用的时候P已经定义完毕了，所以我们当然可以使用它的名字了）。这样一来，P里面的self处不就等于是P本身了吗？自身调用自身，递归！
可惜这只是个美好的设想，还差一点点。我们分析一下P(P, 3)这个调用。利用前面讲的Beta转换规则，这个函数调用展开其实就是（你可以完全把P当成一个宏来进行展开！）：
IF_Else n==0 1 n*P(n-1)
看出问题了吗？这里的P(n-1)虽然调用到了P，然而只给出了一个参数；而从P的定义来看，它是需要两个参数的（分别为self和n）！也就是说，为了让P(n-1)变成良好的调用，我们得加一个参数才行，所以我们得稍微修改一下P的定义：
let P = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(self, n-1)
请注意，我们在P的函数体内调用self的时候增加了一个参数。现在当我们调用P(P, 3)的时候，展开就变成了：
IF_Else 3==0 1 3*P(P, 3-1)
而P(P, 3-1)是对P合法的递归调用。这次我们真的成功了！
不动点原理
然而，看看我们的P的定义，是不是很丑陋？“n*self(self, n-1)”？什么玩意？为什么要多出一个多余的self？DRY！怎么办呢？我们想起我们一开始定义的那个失败的P，虽然行不通，但最初的努力往往是大脑最先想到的最直观的做法，我们来回顾一下：
let P = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1)
这个P的函数体就非常清晰，没有冗余成分，虽然参数列表里面多出一个self，但我们其实根本不用管它，看函数体就行了，self这个名字已经可以说明一切了对不对？但很可惜这个函数不能用。我们再来回想一下为什么不能用呢？因为当你调用P(P, n)的时候，里面的self(n-1)会展开为P(n-1)而P是需要两个参数的。唉，要是这里的self是一个“真正”的，只需要一个参数的递归阶乘函数，那该多好啊。为什么不呢？干脆我们假设出一个“真正”的递归阶乘函数：
power(n):
if(n==0) return 1;
return n*power(n-1);
但是，前面不是说过了，这个理想的版本无法在lambda算子系统中定义出来吗（由于lambda函数都是没名字的，无法自己内部调用自己）？不急，我们并不需要它被定义出来，我们只需要在头脑中“假设”它以“某种”方式被定义出来了，现在我们把这个真正完美的power传给P，这样：
P(power, 3)
注意它跟P(P, 3)的不同，P(P, 3)我们传递的是一个有缺陷的P为参数。而P(power, 3)我们则是传递的一个真正的递归函数power。我们试着展开P(power, 3):
IF_Else 3==0 1 3*power(3-1)
发生了什么？？power(3-1)将会计算出2的阶乘（别忘了，power是我们设想的完美递归函数），所以这个式子将会忠实地计算出3的阶乘！
回想一下我们是怎么完成这项任务的：我们设想了一个以某种方式构造出来的完美的能够内部自己调用自己的递归阶乘函数power，我们发现把这个power传给P的话，P(power, n)的展开式就是真正的递归计算n阶乘的代码了。